一、选题背景和意义：
近年来，以拓扑绝缘体和拓扑超导体为代表的量子拓扑物质引起了物理学界的广泛兴趣。不过，目前关于量子材料的拓扑性质的研究基本都集中于量子纯态。而物质与环境的热耦合是不可避免的，从而物质会从量子纯态退相干而变成混合态。因此，研究量子混合态体系的拓扑性质是不可避免的。然而，与量子纯态拓扑性质的研究相比，量子混合态拓扑性质的研究工作非常之少。一个自然的做法是将量子纯态的几何相位-Berry相位推广到量子混合态。有意思的是，这一工作首先是由数学家而不是物理学家提出。1986年德国数学家Uhlmann将Berry相位的数学定义推广于量子混合态，其基本思想是对量子混合态密度矩阵做纯化，其纯化“几率幅”在参数流形上做平行输运，根据建立的Uhlmann纤维丛的性质，可导出其“纤维”在经历闭合曲线的平行输运后获得的几何相因子，即Uhlmann相位。鉴于Berry相位在凝聚态物理尤其是拓扑绝缘体中的广阔应用，Uhlmann相位一度被认为在低维量子系统的温度诱导的拓扑相变现象也有很大的应用潜力。
二、课题关键问题及难点：
但是，Uhlmann相位也有一些问题。其一，因为其最初的推广是纯数学的，所需要的数学知识较深，而且与之相关的过程的物理意义并不清楚。其二，Uhlmann丛是平庸的纤维丛，因此Uhlmann相位难以用来刻画二维以上的量子系统的拓扑性质，因此，对它的种种改进在近几年被提出来。其三，Uhlmann相位依赖的参数对应的物理意义是什么？可能是时间吗？它和量子混合态的动力学相位是什么关系？郭昊老师已对最后一个问题做出了比较圆满的解答。我们进一步引入了量子混合态的动力学相位的定义，并发现它在很多已知体系中也有分离取值的现象，这与量子纯态的动力学相位完全不一样。
本次课题中，我需要学习一些数学物理知识，在此基础上，尝试计算四能带体系的动力学相位。
三、文献综述（或调研报告）：
摘要： 相位在量子力学中有着很重要的作用。我们所熟知的Berry相位，是理解反常量子霍尔效应，拓扑绝缘体等新颖现象的关键。但是，Berry相位只适用于纯态，而在有限温度下，由于物质与环境的作用，体系会从量子纯态退相干而变成混合态。为了找到混合态对应的几何相位，数学家Uhlmann首先从数学上把几何相位延伸到混合态，也就是所谓的Uhlmann相位。本文简单的介绍下最近几年的有关Uhlmann相位的研究热点，并指出这些研究未来研究的趋势，以期介绍下该领域，并为该领域的进一步研究提供思考。
关键词：混合态，相位，动力学相位，Uhlmann相位
1、理论介绍
对于一个哈密顿量H(lambda;)，其中lambda;是哈密顿量的参数。随着参数lambda;的变化，哈密顿量对应本征态|psi;gt;也会随之变化。当参数lambda;在参数空间沿着封闭路径绝热演化时，|psi;gt;会多出一个相位
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