摘要:伊辛模型 (Ising model)是统计力学中的一个铁磁体模型,它将研究系统视为一系列的点阵,每个点阵上赋予 1,-1两种可能取值,分别表示电子自旋向上和向下。毕业设计的主要内容是研究铁磁相变的Ising模型通过蒙特卡洛模拟从一维到二维的演化过程。而本篇开题报告,将主要介绍相变理论的现代解释、蒙特卡洛(Monte Carlo)算法,以及伊辛模型 (Ising model)。
关键词:铁磁相变; 蒙特卡洛模拟; Ising模型
1 引言
Ising模型首次由楞次在1920年提出[1],用以解释铁磁物质的相变,即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象,而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变,是一种连续相变。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成,每个磁针只有上下两个方向(自旋)。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用,同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变(上变为下或反之)。涨落的大小由关键的温度参数决定,温度越高,随机涨落干扰越强,小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变,从而让上下两个方向的磁性相互抵消,整个系统消失磁性,如果温度很低,则小磁针相对宁静,系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候,Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。
1925年,楞次的学生Ising在只考虑最近邻原子相互作用的简化下,给出了一维Ising模型的解析解[2]。对于一维Ising模型而言,系统不存在相变。1944 年,Onsager考虑了无外磁场作用下的二维正方晶格Ising模型,并给出了解析解。Onsager表明Ising模型的相关函数和自由能由非相互作用的晶格费米子决定。Onsager[3]在1949年宣布了二维模型的自发磁化公式,但未给出推导。1952年,C.N.Yang和T.D.Lee[4]两人首次发表了该公式的证明。二维Ising模型中,系统存在相变。Rudolf Peierls[5]在1936年首次证实证明了Ising模型在2维或更多维中经历有序相和无序相之间的相变。更一般地,系统对于小beta;是无序的,而对于大beta;,系统表现出铁磁有序:。
对于高维的Ising模型,我们通常采用平均长近似。或者是存在外界磁场时,Ising模型通常是不容易求解的。此时,我们通常可以采用蒙特卡罗方法对系统进行数值模拟[6]。其中最常用的抽样方法则是Metropolis-Hasting抽样方法。将Ising模型视为Markov过程,考虑其各态历经的情况。
2 相变理论
一个系统均匀的部分称为一个相。而不同相进行转变的时候(比如固相、液相和气相之间的转变),存在相变潜热L=T(s(2)-s(1))和体积突变,而且还可能出现亚稳态,这是第一类相变。而还有另外一类相变,在转变时既无潜热又无体积突变。例如液-气通过零界点的转变、铁磁顺磁的转变等等。1933年爱伦费斯特[7](Ehrenfest)将第一类相变进行分类,将相变点两相的化学势连续,但化学势的一阶偏导数存在突变:
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