文献综述
1.前言
金融衍生品，是一种金融合约，其价值取决于一种或多种基础资产或指数，合约的基本种类包括远期、期货、互换和期权。金融衍生品还包括具有远期、期货、互换和期权中一种或多种特征的混合金融工具。随着金融衍生品市场的快速发展，越来越多的数学模型被建立用于描述并解决各种复杂金融问题，本文研究具有随机波动率的Hull-White模型。
2.正文
经典的模型，例如著名的Black-Scholes模型，但它认为波动率是一个常数或是一个确定的函数，这与实际市场观测结果不一致。于是人们开始设法改进BS模型，随机波动率模型就是其中之一，即将波动率设为另一个随机过程。在早期的统计学和经济计量模型中，人们一般假设金融产品的波动是固定不变的，可以参见Merton，Black和Scholes的文章做这种假设不仅是为了计算上的便利，更重要的是为了能应用传统的稳定随机过程的理论和模型。但实践发现，这种假设与大多数实际金融数据并不相符合，特别是不能很好表现前面章节提到的金融序列和波动的典型特征。如今我们已经普遍承认波动不仅是时变的，而且是可预测的。在现实世界中，波动率往往是不可观测的。而多数情况下，随机波动率模型的参数估计又无法避免要用到波动率的数据。通常情况下，人们采取的措施是首先将波动率的数据估计出来，然后再将波动率的估计当作已知数据进行参数估计。
利率是金融市场中非常重要的一个指标，几乎所有的金融现象和活动都和利率相关。因此构建合适的短期利率模型变得尤为重要，构建短期利率模型可分为两类：单因子模型，多因子模型。最早的利率期限结构模型包括Merton，Vasicek和CIR模型,这3个模型均属于均衡期限结构模型。
Hull-White模型为扩展的Vasicek模型，他引入了一个是时间变量的中值函数。虽然实证表明了单因子模型也能很好地拟合市场的数据，但是单因子模型无法产生较复杂的收益率曲线的形状。因此，多因子短期利率模型应运而生。SＶＨＷ模型包含一些其它的模型。当波动率是常数时，就是众所周知的ＨＷ模型，当是常数时，模型变化为FV模型；当波动率和都是常数时， 其模型为Vasicek模型。
江良[1]用时间函数描述长期均值的变化，考虑了随机波动率的短期利率模型，并相应地给出了半参数估计方法，该模型既能改善数据的拟合效果也不增加衍生品定价的维数，并兼顾随机波动率良好的特性，而且实证分析也表明了引入均值函数能更好地刻画中央银行和政府己实施政策的有效性。此外，考虑均值函数的模型也可改善衍生品的定价。如Ｈull等研究了时间变量系数的单因子模型衍生品定价时，他们发现其衍生品的定价和常数系数的两因子模型没有显著的差异。Ｇrzelak等引入Hull-White模型给出债券定价过程，并指出引Hull-White模型是必要的。江良使用似然函数来诊断模型，由于模型中含有时间函数的参数，因此提出一种半参数估计方法来计算似然函数值。江良使用核估计方法，其主要原因是均值函数可通过核函数在每个节点上加权平均近似，其近似的函数仅依赖于给定窗口。由于瞬时波动率是不可观测的，因此他通过两组不同到期日债券的线性组合来近似波动率过程。模型是在风脸中性测度下所构建的，这就使得对利率衍生品的定价时可直接使用这些参数的估计值。
江良假设在风险中性测度下短期利率满足SVHW模型（随机波动率Hull-White模型）。
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