分离变量法在求解微分方程中的应用的文献综述
摘要：分离变量法是用来求解数学物理方程的一种基本方法，其基本思想是通过分离变量把求解偏微分方程定解的混合问题转化为求解常微分方程的定解问题，使复杂的混合问题变得简单，其特点是利用具有变量分离形式的特解来构造原初边值问题的解，其理论基础是线性叠加原理和S-L理论。该方法最重要的步骤是代入齐次边界条件变成一个常微分方程的附加条件，从而与该常微分方程构成特征值问题，解出满足方程和边界条件的特征值。方程能够使用分离变量法的基本要求是：混合问题属于线性方程；泛定方程和边界条件是齐次的。对于不满足的情况，可以先转化成满足条件的方程，然后再用分离变量法求解。
引言：在现实生活中的各种问题往往是复杂的、多变量的，因此描述客观世界中具体事物的数学物理方程大多数是偏微分方程。比如现实生活中很多问题都可以归结为波动问题：机械工程中的振动问题属于机械波问题；广播可以与电磁波问题联系；声呐的使用属于声波问题。再比如对于人口问题的研究，最初是用常微分方程来描述的（如马尔萨斯模型），但是真实的人口数量往往与多种因素有关，如时间、年龄、出生率、死亡率等，此时就必须用偏微分方程来描述人口问题了。自然界的复杂性和多样性决定了用来描述这些事物的偏微分方程的复杂性，要求解这些问题毫无疑问也是十分复杂和困难的。但是分离变量法刚好弥补了这一缺陷，可以通过转化进而求解常微分方程，这就使得求解工作变得简单了许多，也使得我们解决更多现实问题。
关键字：分离变量法；常微分方程；偏微分方程
1.微分方程相关概念
1.1基本概念：微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。一般来说，凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，都叫做微分方程。
1.2分类：常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。
1.3应用：微分方程在现实生活中有着广泛的应用，如自动控制、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、描述光和声音在空气中的传播等。
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