一.张量低秩分析课题研究的背景及意义：
在过去的几十年，矩阵填充作为张量填充的一种特例已经得到了充分的研究。相关的理论基础、成熟的算法和多种应用已经为解决更高维的张量填充铺垫好了道路。因此，研究张量填充问题不可避免地需要提及矩阵填充问题。
标准的矩阵填充问题可建模为矩阵秩的最小化约束优化模型。但由于矩阵秩函数的非凸性与非光滑性，此优化模型的求解成为了一个 NP-hard问题。经过众多学者的广泛研究，矩阵秩函数的凸松弛成为了解决此问题的一个重要角度。Fazel等人证明了矩阵核范数是矩阵秩函数在矩阵谱范数意义下单位球上的最佳凸逼近。因此，可将矩阵秩的最小化约束优化模型松弛为凸的矩阵核范数的最小化约束优化模型，这成为了之后诸多矩阵填充模型的基础。虽然矩阵核范数是矩阵秩函数在单位球内的最佳凸逼近，但二者之间仍存在着较人的差异。因此，一些学者考虑引入某些更加紧的非凸函数来松弛矩阵秩函数，从而更好地描述矩阵的低秩性。 Nie等人提出采川矩阵 Schatten p-范数替代矩阵秩函数，实验证明了此方法拥有更佳的矩阵填充表现。此外， Ghasemi等人还采川高斯函数替代矩阵秩函数；Kang等人则采用非凸光滑的 logDet函数作为秩函数的包络。但基于矩阵秩函数松弛的方法大多涉及矩阵的奇异值分解，从而导致梭型求解的复杂度偏高，难以快速计算。Wen等人将目标矩阵分解为两个低秩矩阵的乘积，避免了奇异值分解，获得了更高的计算效率。此外，Wang等人将待填充的目标矩阵视为若干基矩阵的线性组合，提出了基于正交匹配追踪的矩阵填充模型，并给出了高效的求解算法。
早期的张量填充方法通常是将张量切片为多个小矩阵再利用传统的矩阵填充方法。然而，这种“扁平化”过程损坏了张量内部的结构信息，使得张量填充的效果难以令人满意。同时，高维张量更大的规模带来了更高的空间和计算复杂度.限制了传统的矩阵填充方法。只有通过张量分解.给出恰当的张量秩的定义，才能发挥低秩张量填充的真正实力，使得张量填充的效果获得足够的提升。张量和其分解最早出现在1927年，但直到20世纪后期才受到广泛的关注。CANDECOMP/PARAFAC(CP)分解最早由 Hitchcock于1927年提出，经过后来众多学着的发展推广，成为了迄今为止最受欢迎的张量分解形式之一。CP分解可以看作是矩阵的Singular Value Decomposition（SVD）的髙阶推广。它试图将一个张量分解为多个一阶张量的和。与秩-1矩阵类似，3阶秩-1张量可以写作3个向量的外积。张量的CP秩定义为其能够加和生成原张量的秩-1张量的最小个数。这类似于矩阵秩的定义。另一广泛应用的Tucker分解最早则由Tucker于1966年提出，是Principal Component Analysis(PCA)的高阶推广。它将一个张量分解成一个核心张量沿着各个方向乘以一个矩阵。基于Tucker分解的Tucker秩为一个向量，其第i个元素是按模式i展开所得矩阵的秩。
二.文献综述
1、张量秩的定义
在矩阵中，秩定义为行向量或列向量的最大线性无关数目，体现了行向量数据或列向量数据间的相似程度。秩越大，则表明包含的信息量越大。低秩矩阵恢复的方法能够更好地利用图像数据内在的自相似性，从而更有好地保留图像的纹理细节。
对于矩阵，其中一部分数据已知，部分数据缺失。低秩矩阵恢复的工作就是利用这些已知数据恢复缺失数据。表示矩阵中第i行第j列的元素。所有可观测数据的下标（i,j）构成观测集。矩阵低秩补全模型（LRMC）可以表述为：
由于矩阵的秩函数是非凸且非连续的，求解起来是NP-hard问题，所以我们利用矩阵的核范数来逼近矩阵的秩，这样矩阵恢复问题就转化为如下形式：
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