微分中值定理在高中教学中的渗透
摘 要：微分中值定理在大学学习过程中是一非常重要的定理。经过对多篇文章的研究发现，微分中值定理在高中的函数、方程的根、不等式、几何题目中都有应用。微分中值定理的思想在高考题目和高中教学中均有涉及，教师应当注意把这种思想渗透给学生。
关键词：微分中值定理 高中教学 函数 不等式
微分中值定理是高等数学一个非常重要的定理，从17世纪开始，国外学者取得了一系列有关微分中值定理的研究成果。1637年，法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马引理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并对定理进行严格的证明.1829年，法国数学家柯西在《微分计算教程》将拉格朗日中值定理推广为广义中值定理——柯西中值定理【1】.随着国外研究的不断发展，国内也有很多学者致力于对微分中值定理的研究。卢玉峰的《微分中值定理历史与发展》简述了微分中值定理的发展史并归纳三个基本定理在无穷区间、多元函数、赋范线性空间上的推广.闵兰、陈晓敏的《几个微分中值定理之异同》从三个基本定理的理论、结构、证明角度论述了它们的区别与联系通过对微分中值定理的学习，以及对高中习题的解答，探索发现微分中值定理在高中教学中有很多方面的体现.
19世纪末期，德国数学家Fsdot;克莱因提出“基于高视角看初等数学”观点，他认为：“基础数学的教师应当用更高的眼光来看待初等数学问题，初等数学知识只有在高等数学的理论框架内才能得到更深入地了解[2]”。提到微分中值定理的在中学教学的渗透的文章大概有60篇左右，这些文章主要是写立足于高观点看待高中数学教学和微分中值定理在高中解题的应用。2019年，一位研究生发表了论文《微分中值定理相关知识在高中数学中的应用及调查研究》[3]，详细考察了微分中值定理在高中数学的体现。
一、微分中值定理在高中函数题目的体现
在《“居高临下”方能“深入浅出”——具有高等数学背景的试题的背景分析及解法探微》[4]、《立足高观点 简解函数题》[5]、《拉格朗日中值定理与洛必达法则巧解高考压轴题》[6]、《高观点下的高考数学试题分析》[7]这几篇文章中有提到用微分中值定理解决高考函数题目。
例如：（2017年全国Ⅱ卷文科21题）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围。
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