探究原函数的存在性与可积性之间的关系
摘 要：在本科生进行高等数学的学习，在其中微积分的学习中，所涉及的最为频繁的概念便是可微与可积，穿插在其中的，便是导函数，函数和原函数三个元素。本科生在学习的过程中，了解了其中的浅层逻辑，但是对于更深层次的联系的认识和判定，却缺乏进一步的认知，本文从原函数的存在性与可积之间的关系这一切入点进行研究，整理统合目前文献后，可以发现目前网上对于原函数的存在性与可积性之间的关系的研究论文，几乎全部站在黎曼积分的基础上，在整合这些论文后，发现在一些分类下，对于问题的讨论存在含糊的问题，在某些情况下无法进行细分，无法明确原函数的存在性和可积之间的关系，所以本文在结合了《实变函数》的知识后，将该问题拓展到了勒贝格积分的领域，从其他的角度探寻原函数的存在性与可积之间的关系，进一步辨析其中的本质。
关键词：原函数的存在性、函数的可积性、黎曼积分、勒贝格积分
- 主题
明晰导函数，函数和原函数三者之间进行转化的条件，可以极大程度地帮助学生明确积分之间的联系，并在之后进行关于积分的计算时，做到心中有数，知道自己所计算的积分是否存在原函数，甚至可以从原函数的性质倒推回函数的性质，为学生进行微积分解题开拓更多的思路。
目前网络上对于原函数的存在性与可积性之间的关系的讨论，大部分都是以分类讨论思想为基础展开的，首先需要明确的一点是，原函数的存在性与可积性之间并没有必然的关系，存在可积但不存在原函数的情况，也存在有原函数但不可积的情况，也存在着同时存在原函数且可积或者两者都不满足的情况，以上情况的例子将会在论文中详细举出。
在上述情况的讨论中，对于存在原函数后是否可积的情况目前文献没有明确的讨论，对于函数可积的情况，文献分三种情况讨论，第一种情况是函数可积且连续，在这种情况下，函数必然存在原函数，只是这一类函数有可能不是初等函数；第二种情况是函数可积且有有限个间断点，这种情况分两种情况讨论，若是函数的有限个间断点中存在第一类间断点，那么函数不存在原函数，若是函数的间断点都是第二类间断点，那么函数有可能存在原函数；第三情况是函数有界且单调，该种情况的讨论同第二种情况，以上每一种情况都会在论文中举例并配上函数图。
在查阅了外文文献后，受到外文文献《Riemann integrability versus weak continuity》[1]的启发，发现可以从拓扑学的巴拿赫空间切入，讨论黎曼可积性与弱连续性之间的关系，并且在巴拿赫空间下，有些函数的黎曼性可以转化为勒贝格性，在明确了黎曼可积性与弱连续性之间的关系之后，该论文进行了更进一步的深挖，讨论了在当函数在黎曼积分的基础下具备弱连续性后，其中的弱连续性与可积之间的关系，并得到推论：给定一个无限维的巴拿赫空间X，总是存在一个弱连续函数f : [0, 1] → Xlowast;，它不是黎曼可积的。
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