摘 要：基本不等式是高中数学的重要内容，是解决一些数学问题的基本工具，它和函数、导数方程、数列、三角、解析几何等知识关系密切. 基本不等式的历史源远流长，早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派就已经提出了算数中项、几何中项以及调和中项，经过一系列探究之后，我们最终得到了基本不等式：le; (当且仅当时取“=”). 同时在探究过程中，还得出了两条定理以及三条重要推论. 当我们应用基本不等式去解决相关数学问题前，我们必须要满足以下要求：能够辨析、认清基本不等式的特征与功能；探究并理解基本不等式成立的条件；合理构造，创设使用基本不等式的情境. 当满足这些要求后，在使用过程中，我们也需要注意：要重视基本不等式的三个条件，缜密思考；要抓住关键，进行合理变形；把握求最值的三要素“正数；定值；等号”；能够融会贯通，巧变妙用. 这些内容为我们研究基本不等式解题提供了基础.
关键词：基本不等式；定义；定理；推论；要求
- 基本不等式的历史背景及几何意义
早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算数中项、几何中项以及调和中项. 毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项、几何中项的定义与今天大致相同，即对于两个正数，称 为的算术中项，称为的几何中项，而今我们分别称之为的算术平均数和几何平均数，并把这两者相结合的不等式le; (当且仅当时取“=”)叫作基本不等式.
- 赵爽的“弦图”
公元3世纪，中国数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”. 他在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时，给出图1所示的“大方图”. 赵爽写道：
“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实. 黄实之多，即勾股差实. 以差 实减之，开其余，得外大方. 大方之面，即勾股并也. ”
用数学符号语言表达，即：若直角三角形两直角边为，ge;O，ge;O，则
,.
因此，可得不等式. [1]
两边开方，得le; ，当且仅当时取“=”.
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