波方程与Laplace方程的统一解法
摘要：给出了波方程和Laplace方程的早期数学物理背景和关于弦振动的分析的文献综述.
关键词： 弦振动； Laplace方程； 矩阵对角化；波方程
一、文献综述
波方程和Laplace方程是重要的二阶线性偏微分方程,它们都源自物理问题.前者最先出现于Drsquo;Alembert对弦振动(string vibration)的研究.后者据笔者所知至少在Fourier对热传导的研究中出现过,是热传导里的稳态热方程(steady state heat equation).这两个方程都可以用Fourier级数来解,可谓是Fourier分析的起源.前者是Fourier分析在力学上的起源,后者是Fourier分析在传热学上的起源.特别是前者,对于它的研究一度在历史上引起了欧洲最大的几个数学家(Euler,Drsquo;Alembert,Daniel Bernoulli,Lagrange)之间的争论,从而有助于澄清和发现一系列概念,对分析学的发展造成重大影响.
弦振动问题一直是18世纪的数学物理学家们感兴趣的问题.1747年,在Brook Taylor研究的基础上,Drsquo;Alembert发表了论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》(Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration).该文章的节选中译本可以在李文林主编的《数学珍宝:历史文献精选》[1]中找到.在这篇文章里,他研究了弦振动并首次推导出了描述弦振动的波方程,从而开启了偏微分方程的研究.描述弦振动的波方程如下:
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