文 献 综 述
- 研究背景和意义
微分算子是一类体系完整，实际应用广泛的线性算子，在数学物理方程中和其他工程技术领域中，有很多问题都归结于微分算子的求解问题，微分算子的研究主要关注如下两个方面：通过对算子谱的分析，人们能够对相关问题作出科学解释并提出恰当地解决方案，即所谓的微分算子谱理论问题[1]；另一方面，通过对测定或给定的谱数据进行分析，来刻画和构造原系统并推断系统本身的一些性质，通过对微分算子的研究而形成的微分算子理论，不仅为微分方程中许多问题的解决提供了统一的理论模式，而且也为解决数理方程和其他工程技术应用问题提供了重要的数学工具[2]。
其中Sturm-Liouville算子的谱理论是一个非常重要的研究课题, 许多偏微分方程和数学物理问题的求解最终都落实到这类算子的谱问题. [3]球对称势势的Shroedinger算子分离变量就会得到半直线的Sturm-Liouville算子. 半直线上极限圆Sturm-Liouville算子的谱都是点谱, 自伴的极限点型算子的谱就要复杂很多, 可能都是点谱, 可能既有连续谱也有点谱, 也可能全是连续谱.S 一L算子作为微分算子的代表,起源于19世纪初关于固体热传导模型的数学描述,sturm和liouville利用fourier方法对正则二届微分算子的谱理论进行了深入研究,他们在1836到1837年间发表了一系列的学术论文,[4]从而奠定了S-L理论的思想基础,并对振动方程,波动方程以及热传导方程等很多数理方程的研究产生了积极的影响,由于其在地球物理,量子力学,气象学,电子学及其他自然理论分支的广泛应用,吸引了很多数学家,等投入其中进行研究,并取得了开拓性的成果,极大地丰富和发展了S-L理论的内涵，使之成为一个系统地，内容广泛的理论领域。
2 国内外研究进展
为描述固体热传导的数学模型而起源Sturm-Liouville 问题 , 自上世纪中问世以来,[5]由于在物理学数理方法以及各种理论科学及应用科学领域的广泛应用, 而得到了长足的发展. 本世纪初, H.Weyl将问题拓广到无界区间, 开创了奇异S一L 理论的研究.weyl 理论创建伊始, 不久就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段, 从而引起了数学界与物理学界的瞩目。
二次世界大战之后, 许多知名的学者均投入到S一L 理论的深入研究, 并在奇异S 一L 问题的谱,谱的反问题, 以及算子迹等方面, 完成了大量的开拓性工作, 这些工作成果, 大大丰富并拓展了S一L 问题的内蕴, 并使之形成为一个系统的理论领域. 这里应当一提的是, 我国北京大学教授, 五十年代在国内首次倡导并引进了S一L 理论的研究,他所培育的队伍在六十年代曾取得高水平的研究成果. [6]
本世纪六十年代以后, 以W.N.Everitt为首的欧美学者以及苏联学者, 进一步开拓了高阶奇异对称微分算子亏指数理论的研究, 并取得了许多重大的研究成果[7] . 亏指数的研究,是一种更加基本的构造性研究, 它的深入进行, 已使得S一L 理论领域的面目为之一新. 在这一时期, S一L 理论系统, 已基本上脱离了微分方程的理论模式而纳入到Hilbert函数空间无界线性算子的理论框架[8]。用算子的方法和语言来装备S一L 理论, 不仅大大扩展了问题的认识视野, 而且随之提出了一些更深人和更基础的新问题. 总而言之,作为量子物理学的数学支柱的近代S一L 理论, 无论从其数学内蕴处理方法以及语言形式, 与经典的向题相比均已有了非常大的变异, 并且基于其固有而深远的背景, 迄今仍然显得枝叶繁茂, 生机盎然.
引用文献
[1] Malcolm Brown , Michael S. P. Eastham , Andreas M. Hinz , Karl Michael Distribution of eigenvalues in gaps of the essential spectrum of Sturm-Liouville operators - a numerical approach . www.mathematik.uni-muenchen.de
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